大きな大きな大きな数
 
 

目 次

大きな数って何なの?

グラハム数やグーゴル数に代表されるような,10進数表記で50桁を越すような数であると,たった今決めました。
当サイトはその中でも無限について重点的に取り扱い,できる限り大きな数を作成するのを目標に話を進めていきます。

初歩的な大きな数,無限

無限を取り扱う為にも,まずは無限を簡単に定義しましょう。
当サイトでは無限を「0に1を足し続ける行為を永遠に繰り返した数」とします。
以降,特に断りがない場合,当サイトでは無限を@と表現します。

※1を足すという行為についての補足です。plus()という操作を考えます。 plus(0)=1,plus(1)=2と定義します。0に1を足す行為は,plus(0)を計算することとします。 同じように,0に1を足し続ける行為とは,plus(1を足す対象の数字)を計算し続ける行為を指します。

無限の足し算

先ほど定義した@(無限)よりも大きな数を,足し算によって作成してみましょう。
@+1 これはplus(@)と同じ大きさ,つまり@よりも1だけ大きい数になります。
@+2 これはplus(@+1)と同じ大きさ,つまり@+1よりも1だけ大きい数になります。
この,@に1を足し続ける行為を永遠に行ったとします。すると@+3,@+4……と続き,最終的には@+@という数ができあがります。この数は@よりも@だけ大きい数になります。
この数をもう少し丁寧に定義すると「0に1を永遠に足し続けた数に,1を永遠に足し続けた数」となります。

無限の掛け算

先ほどは@と簡単な足し算を用いて,@+@を定義しました。では,今度は掛け算の概念を用いて,更に大きな数を作成してみましょう。
まずは掛け算を定義します。multi()という操作を考えます。multi(1,1)=0+1,multi(1,2)=0+1+1と定義します。
multi(a,b)(a掛けるb)という行為は,0にaをb回足す行為,と言い換えることができます。
つまり,先ほど考えた@+@とは,0に@を2回足す行為と言い換えることができ,@+@=@*2と同義です。
ここで,@+@に1を永遠に足し続ける行為を考えます。先ほどの例を参照すると,@+@+@=@*3が作成できることがわかります。
次に,@+@+@に1を永遠に足し続ける行為を考えると,@*4が作成できます。
同様にして,「0に1を永遠に足し続けた数をAと置く。Aに1を永遠に足し続けた数をAと置く」という行為を永遠に行います。
すると,@+@+@+@……=@*@,0に@を@回足した数が作成できました。

無限の乗算

@の乗算ついて考えます。先ほどの@*@を用いてplus(@*@)を計算すると,(@*@)+1という数が求まります。これを永遠に繰り返すと(@*@)+@が作成できます。
「@*@に1を永遠に足し続けた数をAと置く。Aに1を永遠に足し続けた数をAと置く」という行為を永遠に繰り返します。
すると,(@*@)+@+@+@+……=(@*@)+(@*@)という数が作成できます。
これは「0に(@*@)を2回足した数」と言い換えることができ,先ほど設けた掛け算の定義でいうと,(@*@)*2となります。


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Last-modified: 2017-09-26 (火) 14:27:45 (1011d)